Asal sayıların hârika gizemi ve (ispatı için bir milyon dolar ödüllü) 'Riemann Varsayımı' -II-

Bu başlıktaki yazımın birinci (I.) kısmında tüm doğal sayıların (artı işâretli tamsayıların) yapıtaşları olan asal sayıların dağılımı, ardı ardına dizilimi hakkında bilinenlerle, asırlardır hâlâ bilinmeyen, veya bilinse de ispatlanamayan esrarengiz özelliklerinden bahsetmiştim. Bunların başında Riemann’ın 150 yıl kadar önce ortaya attığı “Riemann Varsayımı” geliyor. O gün bugün birçok matematikçi varsayımın ispatına uğraştı; tamamıyla değişik yollar denendi. Bu uğraşlar hâlen berdevam. Ama, belki bir gün genç bir riyâziyeci, belki de doktora tezini yeni tamamlamış biri, veya yaşlı ama kendini yeni dallara merak sarıp sık sık yenilemiş (yâni “yaşlı genç”), tecrübeli, fakat “fosilleşmemiş” bir bilimci, denenmişlerden çok farklı bir yaklaşımla olayı çözüverecek. (Çok kez bu böyle olur; zihinde zamanla oluşan perdelerin kalkıvermesi önemli).

Euler’in ilginç denklemi: 1730’larda L. Euler öyle bir denklem, (aslında bir özdeşlik) buldu ki, bir yanında tüm doğal sayılar üzerinden bir toplama (sonsuz seri), diğer yanda ise tüm asal sayılar üzerinden sonsuz bir çarpma serisi. Şöyle:

Burada doğal ve de asal sayıların üzerinde bir s üssü var. O da bir (+) tamsayı olarak alınıyor Euler’de. Denklem (Dnk. (1)), her öyle s değeri için doğru (onun için Dnk.(1) bir özdeşlik). Bir yanda toplama, diğer yanda çarpma oluşu da aslında işin derininde ilginç. Ayrıca, ilk bakışta, sağ tarafta sâdece asalların, solda ise tüm doğal sayıların olması da insana esrarengiz geliyor. (Herhalde, asalların gizemine merak sarmış Euler’e de bu câzip gelmişti.) Ama bunda pek şaşılacak bir şey yok. Özdeşliğin oldukça kolay ispatı için yazımın I. kısmındaki aritmetiğin temel anasavını hatırlamak yeter. Dnk.(1)’in solundaki her bir doğal sayıyı kendisine has olan asal sayılar çarpımı şeklinde ifâde edersek, özdeşliği birkaç adımda ispatlayıveririz. (Özellikle ispatı daha önce görmemişseniz, bir denemenizi tavsiye ederim.).

L. Euler

Özdeşliğin bir veya diğer yanı, toplamalar veya çarpmalar yapıldıktan sonra belli bir değer Z ’i verecek ve bu sonuç, seçilen s’e bağlı. İşte s’in bu işlevine (fonksiyonuna), (s yalnızca doğal sayı olabiliyorsa), Z(s) = “Euler zeta işlevi” deniyor. Eğer s = 1 alırsak, Z(1) = 1+(1/2)+(1/3)+….. = sonsuz. Bu iyi bilinen ıraksak serinin adı “uyumluk” (yb. “harmonik”) serisi. Ancak, s > 1 ( s = diğer doğal sayılar) için Z( s >1) yakınsaktır ve artı işaretli bir gerçel sayı değerini alır. Ee? Asal sayıların gizemi hakkında buraya kadar henüz fazla bir şey yok. Peki, ya s’in alabileceği değerleri daha geniş bir sayılar alanına genişletirsek? Ve Riemann (1826-1866) öyle yaptı.

Riemann Zeta İşlevi: Denk.(1)’de s her hangi bir karmaşık sayı olsun. Yâni s = a + i b ve a, b gerçel sayılar, i ise mâlum . O zaman özdeşlik hâlâ geçerli, ama karmaşık olabileceğini belirtmek için artık ‘s’ye ‘z’ diyelim. Şimdi işlevimizin adı “Riemann zeta işlevi” Z(z) olacak ve Z(s) Z(z) her z için karmaşık bir değer alan bir “karmaşık işlev” hâline gelecek.

Euler zetası , s = 1 hâriç, her s için artı bir değer alıyordu. Riemann zetasının davranışı ise çok daha ilginç. Z(z)’nin her terimindeki (veya ), biri gerçel, diğeri sanal iki çarpandan mürekkep: Örn. . İlk çarpan gene hep artı bir gerçel sayı ama, ikinci, sanal çarpan, sabit bir b değeri için (+) ve (–) değerler arasında dalgalanabilir. [Hatırlayalım ki: ’ = cos b’ + i sin b’ ; bir de p = ve  ]. Durum bu olunca, böyle terimlerin toplam veya çarpımlarını içeren Z(z)’de karmaşık olduğu kadar, gerçel kısmı da (+) , (-) , veya sıfır her türlü değeri alabilir. İşte Riemann varsayımı için önemli mesele Riemann zetasını Z(z0) = 0 yapan z0’ların hangi z0’lar olduğu.

Z(z) = []’deki her terim, her hangi bir Riemann zeta sıfırına katkıda bulunuyor. Bu, insana, gene dalgalanmalı, sonsuz sayıda terimlerden oluşan, ve her hangi bir biçimdeki bir eğriyi yaklaşık olarak veren [ve fizik, fiziksel kimya, mühendislik, ve örn.”manyetik yankılaşım (resonanz)” görüntüleme cihazları için önemli] Fourier serilerini hatırlatıyor.

Her asal sayı, her hangi bir Riemann zeta sıfırını, her Riemann zeta sıfırı ise her hangi bir asal sayıyı etkilemektedir. Belli ki, sıfırların hepsini bulsak bile bu bilgiden asalların dağılımını tespit etmek de kolay olmayacak, ancak bu konuda epey bilinen var. Gene de biz şimdi, Riemann zeta sıfırlarının hangi z’lerde olduğunu verecek olan Riemann zeta varsayımına dönelim:

Riemann Varsayımı: Zeta işlevinin değişkeni z karmaşık sayı olduğuna göre onun (a, b)’den oluşan her bir değerine, bir ekseni a’ları, dikey diğeri b’leri gösteren (a, b) düzleminin bir noktası tekabül eder. [Aynı şekilde Z’nin alacağı değerler de böyle başka bir düzlemde gösterilebilir.] Riemann zetasının sıfır noktaları {z0} acaba (a, b) düzleminin her tarafına mı yayılmış? Hayır. Riemann’ın vefatından bir asır sonra tesadüfen bulunan defterleri gösteriyor ki, kendisi önceden sanıldığı gibi yalnızca cebirsel türetmelerle uğraşmamış, ince ve çetrefil birçok hesap ta yapıp edindiği verilerden genel kaideyi görmeğe çalışmış. Bu uğraşları sonunda bugün “Riemann Zeta Varsayımı” diye adlandırılan varsayımını ortaya attı. Buna göre: Riemann zetasının sıfırları ancak (a,b) düzlemindeki a = _ doğrusu üzerinde bulunabilir (yâni {z0} = { (1/2) + i b0} ve b0’lar, ± ∞ (eksi sonsuz ile artı sonsuz) arasında belirli bazı (gerçel) değerler ama, bu b0’lardan da sonsuz adet var.

Bu sefer de karşımıza, sıfırların dağılımı meselesi çıkıyor, gerçi dağılım, (a,b) düzleminin her yerinden, sâdece {a0 = _} doğrusuna indirgendi, z0’ların bulunabilecekleri bölge adamakıllı daraldı.

Şimdiye kadar birçok sıfırın yeri hesaplandı.. Hattâ 2000 yılında bunların adeti yi bulmuş durumdaydı (tabii çok büyük bilgisayarların kaba kuvvetiyle). Zeta sıfırları hep varsayıma uyumlu yerlerde çıktı; hiçbiri varsayımı çürütmedi (bir teki bile a0 = _’den sapsa varsayımı atmak gerekir) Ama gene de kesin riyâzi ispat elzem. Niye mi? Hatırlayalım ki, sıfırların tümü, her bir asal sayının doğal sayılar ekseni üzerindeki yerini belirliyor. Bir de, b0, sinüs, kosinüs dalgalanmalarını belirlediği için, çok büyük değerde bir b0’ın ilk başlardaki düşük bir b0’dan daha az önemli olacağı söylenemez.

Dolayısıyla, hâlen ispat için apayrı yollardan çalışılıyor (şu kadarı şimdiden belli oluyor ki b0’ların dağılımı da rasgele değil, bir formülü olmalı. İspat ve dağılım kanunu yaklaşımları arasında bana en ilginç geleni, 1950’de çekirdek fiziğinde ortaya çıkmış olan “rasgele dizeyler” (yb. ‘matrisler’) kuramındaki yüksek erkeli (enerjili) nicem (kuvantum) düzeylerinin dağılımının, b0’ların hesapla gözlenen dağılımını andırması. Bu konuyu, inşallah bir dahaki yazımızda ele alacağız.

Oktay Sinanoğlu; İstanbul ve Gainesville(FL)/ 8-29 Nisan 2006